Arquímedes y la Medida del Círculo

En el panorama de la Ciencia griega del siglo III a.C. destaca especialmente la figura de Arquímedes (287-212). Sus aportaciones, fundamentales, a la Geometría y a la Aritmética, a la Mecánica y a la Hidrostática, le confieren una importancia singular en la Historia de la Ciencia. Junto con Euclides (c.300) y Apolonio (270-190), constituyen la llamada Edad de Oro de la Matemática griega.

Manteniendo el rigor euclídeo, Arquímedes imprimió a sus obras una clara intención de calcular y medir. Quizás ello se debiera a sus orígenes -era hijo de Fidias el astrónomo- y a los signos de su tiempo -fue contemporáneo de Aristarco de Samos, y de Eratóstenes (276-194), astrónomo y bibliotecario de Alejandría, autor de Sobre la medida de la Tierra, en el que se nos lega su famoso cálculo del radio de la Tierra. En ese contexto, escribió Arquímedes su libro sobre la Medida del Círculo.

En el Teorema I de esa obra, Arquímedes nos ofrece una bella "cuadratura" del círculo con su método de exhaución; y en el Teorema III obtiene la famosísima aproximación del número π (¡la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro!), la fracción 22/17. La enorme influencia que la obra arquimediana ejerció sobre la comunidad científica a lo largo de la Edad Media árabe y latina, así como en el Renacimiento italiano, tuvo en la Medida del círculo el representante más eficaz e iniciático, tanto por la fascinación de lo circular, como por la sencillez de los enunciados de sus teoremas y el magistral desarrollo de sus demostraciones.

De todos los tratados arquimedianos que se conservan, este es uno de los más conocidos. No va precedido de un prólogo y consta de tres teoremas, el segundo de los cuales es irrelevante. Los estudiosos de la obra de Arquímedes están mayoritariamente de acuerdo en que se trata de un fragmento de una obra más extensa. En cualquier caso, junto a Sobre la esfera y el cilindro, es la obra más citada en la antigüedad y una de las cinco arquimedianas que llegaron a las manos de Eutocio, un comentarista del siglo VI. Fue conocida y estudiada por los matemáticos medievales, árabes y latinos.

El teorema I de la Medida del círculo.

«El área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la longitud de la circunferencia del propio círculo».

Sea ABCD el círculo dado y K el triángulo descrito. Entonces, si el círculo no es igual a K, será mayor o menor.

1. Supongamos, si ello es posible, que el círculo sea mayor que K. Inscribamos un cuadrado ABCD y construyamos los puntos medios de los arcos AB,BC,CD,DA. Continuemos este proceso de bisección (si es necesario) hasta que los lados del polígono inscrito cuyos vértices son los puntos de división subtiendan segmentos circulares cuya suma sea menor que el exceso del área del círculo sobre K. De esta manera, el área del polígono así obtenido será mayor que K. Sea AE un lado de éste y ON la perpendicular a AE desde el centro O. Entonces ON es menor que el radio del círculo y, por tanto, menor que uno de los catetos del triángulo K. También el perímetro del polígono es menor que la circunferencia del círculo, esto es, menor que el otro cateto. Consecuentemente, el área del polígono es menor que K; lo que se contradice con la hipótesis. Por tanto, el área del círculo no es mayor que K. Dejaremos a un lado la segunda parte del teorema, esto es, la demostración de que el área del círculo no es menor que K (para la que Arquímedes usa los polígonos circunscritos).

Pero ¿cuál ha sido la vía del descubrimiento del teorema, oculta bajo la impecable demostración por el método de exhaución? Pensarnos que Arquímedes pudo llegar al resultado mediante el uso heurístico, poco riguroso, de técnicas infinitisimales, «sumando» los infinitos triángulos isósceles de lados iguales al radio del círculo y de base un segmento infinitesimal que se confundiría con un arco infinitesimal de la circunferencia.

Entonces el área sería igual a:

Arquímedes, situando este teorema al inicio de su tratado, hace un «guiño» al tema de la cuadratura del círculo. Al conseguir la equivalencia entre un círculo y un triángulo (¡que ciertamente es una figura cuadrable!) parecería resuelto el famoso y difícil problema; pero el triángulo K no es construible con regla y compás, pues uno de los catetos es justamente la longitud de la circunferencia. Lo que Arquímedes ha conseguido, es «reducir» el problema de la cuadratura del círculo al de la rectificación de la circunferencia, esto es, a la construcción con regla y compás del número π. En la Prop.18 de Sobre las espirales obtiene una rectificación de la circunferencia a través de la curva espiral por él inventada, curva de naturaleza mecánica y no construible con regla y compás. Cabe pues, inscribir el nombre de Arquímedes entre los que «cuadraron el círculo» por medios no ortodoxos; pero es muy posible que él intuyese la imposibilidad de hacerlo con regla y compás, así como la condición de irracional del número π, y ello explicaría el cálculo aproximado de éste con el que cerraría su tratado sobre el círculo.

Es muy interesante, en relación al estudio del desarrollo del espinoso tema del infinito matemático a lo largo de la Historia, el observar qué hace con ese concepto Arquímedes, uno de los más grandes matemáticos que han existido. En su obra, sólo dos veces se nombra la palabra "infinito" (ápeiros), y ello sucede al comienzo del Arenario, cuando Arquímedes trata de refutar la tesis de que «el número de granos de arena existentes en el mundo es infinito». Esta decidida voluntad de ocultamiento nominal de un concepto que juega un papel tan destacado en la obra arquimediana (no por casualidad se considera a Arquímedes precursor del cálculo infinitesimal) responde a exigencias "académicas" alejandrinas, euclídeas, que junto a contenidos estrictamente teóricos y rigurosos obligaban a evitar el infinito, declarado por Aristóteles, el innombrable.

Eudoxo fue el gran matemático griego que supo esquivar y, en cierta forma dominar, el infinito actual. Suya es la idea de apartar de las consideraciones matemáticas las cantidades "infinitamente pequeñas" e "infinitamente grandes", y ello lo consigue con el enunciado que Euclides dió como definición 4 del Libro V de los Elementos:

«Se dice que dos magnitudes tienen razón entre ellas, si cualquiera de ellas tiene múltiplos mayores que la otra».

Es decir si a y b son magnitudes que entre ellas "tienen razón", deben existir números naturales m y n tales que ma > b y nb > a. Pero la proposición o lema con la que Euclides opera a lo largo del Libro XII para obtener sus resultados sobre áreas y volúmenes mediante el procedimiento de la exhaución, es una consecuencia inmediata de esta definición; es la PROP. 1 del Libro X:

«Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor sustraemos una magnitud mayor que su mitad, de la que queda sustraemos una magnitud mayor que su mitad y, si repetimos este proceso continuamente,llegaremos a una magnitud que será menor que la más pequeña de las magnitudes iniciales».

Arquímedes eleva al rango de axioma la idea de Eudoxo, modificando algo su enunciado y situándolo al comienzo de muchos de sus libros, Axioma de Eudoxo-Arquímedes:

"De dos magnitudes desiguales, líneas, superficies o sólidos, la diferencia entre la mayor y la menor, añadida a sí misma un número suficiente de veces, puede sobrepasar cualquier magnitud dada (del mismo tipo que las comparadas)".

Así pues, diremos como conclusión, que en la Medida del círculo están ilustradas las dos facetas de la producción científica arquimediana: por una parte, el Teorema 1, en el que Arquímedes conjuga la intuición del descubrimiento con el virtuosismo euclidiano de la demostración, obteniendo así un resultado pleno de consecuencias:

• Dejaba abierta otra posibilidad de cuadrar el círculo con regla y compás mediante la rectificación de la circunferencia.
• Es una admirable confirmación de que las constantes que ligaban la longitud de la circunferencia con el diámetro, y el área del círculo con el cuadrado del radio, eran la misma (¡el número π!).
• Es el embrión de otro maravilloso resultado: «el área de la superficie esférica es cuatro veces el de uno de sus círculos máximos». Arquímedes explica en el prólogo al Método Mecánico cómo por un razonamiento análogo al del resultado del Teorema I llega a la conclusión de que el volumen de la esfera es igual al de un cono de área de la base igual al de la superficie esférica y de altura el radio de la esfera; lo cual, unido al teorema 34 de_ Sobre la esfera y el cilindro_, que dice: "el volumen de una esfera es cuatro veces el de un cono de base un círculo máximo y de altura el radio de la esfera", conduce al sorprendente resultado anterior. Arquímedes es claramente platónico al afirmar que este descubrimiento del área de la superficie esférica «era naturalmente inherente a la esfera, pero que había permanecido oculto a aquellos que antes que yo se habían dedicado al estudio de la geometría».

Resultados como éste le hicieron merecer el sobrenombre con el que se le conoció hasta la época de Galileo: «el divino Arquímedes». Más humano, o al menos más cercano a los intereses mundanos, es su Teorema III, es decir, el de la aproximación del número π, que se seguiría usando -inmejorada- durante más de un milenio (resultado también admirable por la destreza en el manejo de los números y porque su aritmética calculatoria con fines prácticos estaba muy lejos de los intereses platónico-euclídeos de la Academia). Este teorema, para algunos el más relevante de la contribución arquimediana a la futura Ciencia, puede representar la otra faceta -original dentro del espíritu de la matemática griega-, la del acercamiento de la Matemática a la realidad socio-cultural, puesta al servicio de la Técnica.

Los portentosos artilugios mecánicos ideados por Arquímedes para la defensa de su patria siracusana, magnificados por escritores como Plutarco, potenciaron en la imaginación popular a lo largo de los siglos una visión de las matemáticas como disciplina capaz de controlar los fenómenos de la Naturaleza: el posterior método físico-matemático galileano deberá mucho a la genial obra de Arquímedes.

En cuanto a la ubicación de la Medida del círculo en la cronología de la obra arquimediana, todas las especulaciones son posibles. Sabemos por los prólogos de algunas de sus obras que Arquímedes dejaba pasar tiempo entre sus trabajos de investigación y su "publicación", esto es, hasta el envío de esos resultados a algún miembro de la comunidad matemática alejandrina. Es muy posible que el Teorema l, por su sencillez y por el uso de técnicas euclidianas, fuese un logro de juventud; pero pensamos que el resultado del Teorema III, independientemente de la época de su obtención, fue hecho público por un Arquímedes maduro al final de su carrera, cuando seguramente la experiencia acumulada y su penetrante intuición le hacen sospechar la realidad del número (?) π, al que sólo podemos acceder de manera aproximada. Y ahí se reconoce la grandeza y miseria de nuestras limitaciones.

Actividades

1. ¿Por qué sólo podemos calcular el número π de manera aproximada?
2. Arquímedes demostró que el número de granos de arena existentes en la Tierra era finito. ¿Y cómo lo pudo hacer?... Para ello, "pesó" a la mismísima Tierra. Elabora un plan de demostración. Empieza, por ejemplo, decidiendo cuánto pesan mil granitos de arena.
3. ¿Te parece sorprendente o incluso bello que el área de la superficie de una esfera sea exactamente cuatro veces la de uno de sus círculos máximos?. Con la ayuda del texto anterior trata de reconstruir la vía del descubrimiento que llevó a Arquímedes a tan armonioso resultado.

Para saber más

• Montesinos Sirera, José. "Arquímedes y la medida del círculo". Ciencia y cultura en la Grecia Antigua, Clásica y Helenística.Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia: La Orotava, 1992. (Arcchivo PDF)